Эта заметка адресуется любознательным трейдерам, интересующимся математическими тонкостями манименеджмента. В ней мы рассмотрим, как работает метод реинвестирования капитала, и выведем простые формулы для оптимизации размера торговой позиции.

× ≠ +

Очень часто начинающие трейдеры путают мультипликативную модель с аддитивной, или, проще говоря, умножение со сложением. Предположим, какой-то актив вырос в первую неделю на 10%, а во вторую – на 20%. Вопрос: насколько процентов вырос актив за две недели? Довольно многие могут ошибочно назвать цифру 30%. Однако это совершенно неверно. Правильный ответ здесь – 32%. Процесс роста финансового актива имеет мультипликативный характер. Это означает, что относительные (процентные) доходности не складываются, а перемножаются. В нашем примере корректный ответ находится так: [(1+0.1) × (1+0.2) - 1] × 100% = 32%. Разница с «наивным» ответом составляет 2%, что не так уж и мало. Кроме того, чем более длительный временной период берется, тем большей будет расхождение в двух моделях роста. По этой причине средняя арифметическая доходность является плохим показателем для измерения скорости роста. Она всегда завышает средний темп роста. В нашем примере средняя арифметическая недельная доходность составляет 15%, а средняя геометрическая – только 14.89%. Средняя геометрическая доходность является адекватной мерой скорости роста для мультипликативного процесса. Для двухпериодного случая она равна квадратному корню из 1.1 × 1.2 или, что то же самое, степени 1/2. В общем случае средняя геометрическая вычисляется как произведение n доходностей в степени 1/n.

Влияние финансового рычага

Особенно заметным различие двух моделей становится при больших колебаниях цен. Так, если какой-то актив упал на 20%, чтобы восстановится к исходному уровню, ему надо вырасти на 25%, а не на 20%. В этом легко можно убедиться, поскольку 0.8 × 1.25 = 1, а 0.8 × 1.2 = 0.96. Процентная доходность ассиметрична относительно нуля: для восстановления паритета после падения всегда требуется больший процентный рост. Чем больше падение приближается к предельно возможным 100%, тем больший требуется рост для восстановления – в пределе стремящийся к бесконечности. Давайте теперь посмотрим, как на процентный рост влияет финансовый рычаг (плечо). Нетрудно показать, что рычаг воздействует на доходность линейно. Так, если акция выросла на 10%, а мы ее купили с рычагом 1:2, наш капитал вырастет на 20%. При рычаге 1:3, он вырастет на 30% и т.д. Доходность просто умножается на величину плеча. К сожалению, убытки умножаются совершенно аналогично: падение цены на 10% обернется 20% убытком при рычаге 1:2. При 10-кратном рычаге падение цены на 10% вообще приводит к полному разорению. Вычислить это убийственное значение рычага очень просто: надо единицу разделить на предполагаемый процентный убыток, т.е. это величина обратная убытку. В нашем примере: 1/0.1 = 10.

Реинвестирование – трюк с рычагом

В чем же заключается метод реинвестирования при управлении капиталом? Оказывается максимальный рост (при фиксированном процентном риске) достигается при постоянном финансовом рычаге. Если мы первоначально открыли позицию, напр., с рычагом 1:2 (стоимость купленных активов в 2 раза превышает собственные средства на счету), то потом каждое ценовое колебание будет нарушать стартовое значении рычага: при росте цены рычаг будет падать, а при падении – расти. Это означает, что для того чтобы держать рычаг на постоянно уровне при росте цены надо докупать актив, а при падении, наоборот, частично сокращать позицию. Давайте рассмотрим конкретный пример. В нем специально взяты удобные для восприятия цифры и не предполагается, что рычаг находится на оптимальном уровне. Мы пока просто изучим саму «механику» процесса. Допустим, мы имеем стартовый капитал 1000 и покупаем 200 акций по цене 10. Общая стоимость позиции – 2000 в 2 раза превышает собственные средства. Значит, мы открыли позицию с рычагом 1:2. Предположим, цена акции растет на 25% до 12.5. В этом случае стоимость позиции увеличивается до 2000 × 1.25 = 2500. Из них 1000 – заемные деньги. Значит, депозит вырос до 2500 - 1000 = 1500. Теперь соотношение рыночной стоимости актива к собственным средствам составляет 2500/1500 ≈ 1.67. Рычаг упал. Чтобы его восстановить, нужно докупить акций на сумму: 1500 × 2 - 2500 = 3000 - 2500 = 500. Текущая цена акции 12.5, поэтому нужно докупить 500/12.5 = 40 акций. Рассмотрим другой сценарий. Акция падает на 20% до 8. Рыночная стоимость позиции снижается до 2000 × 0.8=1600. Если вычесть заемную 1000, получается, что собственных средств осталось только 600. Рычаг вырос до: 1600/600 ≈ 2.67. В такой ситуации, чтобы выровнять плечо надо частично сократить размер позиции. Надо продать акций на сумму: 1600 - 600 × 2 = 1600 - 1200 = 400. При текущей цене 8 надо продать: 400/8 = 50 акций. Итак, при росте цены на 25%, чтобы выровнять рычаг надо владеть 240 акциями, а при падении на 20% – 150 бумагами. Смысл реинвестирования заключается в наращивании позиции при увеличении капитала и сокращении – при его снижении. Таким образом, при позитивном сценарии в торговую систему при помощи маржи вовлекается все больше и больше денег, и в итоге получается рост по принципу «сложного процента», когда проценты начисляются на проценты. При негативном сценарии, напротив, деньги выводятся из системы, что смягчает экстремальные просадки капитала. О финансовом рычаге и его оптимизации подробнее можно почитать некоторые статьи здесь.

Парадоксы реинвестирования

Чтобы понять тонкости реинвестирования, давайте рассмотрим очень простой случай. Предположим, что актив может с равной вероятностью расти или падать только на 25% и на 20% соответственно. Хотя мы знаем заранее на сколько процентов он может вырасти или упасть, мы никогда не знаем в какой день будет рост, а в какой падение. Напр., он может вырасти в первый день, затем два дня подряд падать, а потом опять вырасти, или падать три дня подряд, а потом расти три дня, или какое-то время чередовать рост и падение. Нетрудно сообразить, что в среднем такой актив не будет ни падать, ни расти – он будет двигаться вбок. Что произойдет, если мы применим к нему стратегию реинвестирования с постоянным рычагом 1:2. Как мы помним, рычаг просто умножает доходность. Значит, капитал каждый день будет либо расти на 50%, либо падать на 40%. Будет ли он в среднем двигаться в бок? Сюрприз. Нет! Вот, что мы имеем: (1 + 0.5) × (1 - 0.4) = 1.5 × 0.6 = 0.9. Отсюда видно, что за один цикл капитал падает на 10%. Это означает, что реинвестирование может сделать нейтральный вариант бокового тренда убыточным. Более того, при очень большом рычаге, может стать убыточной даже прибыльная торговая стратегия. Однако на этом сюрпризы не заканчиваются. Сюрприз №2 – боковик можно превратить в бычий тренд. Запишем динамику капитала в виде формулы:

(1 + 0.25 × ℓ) × (1 - 0.2 × ℓ),

где символом ℓ – обозначен размер рычага.

Перебирая значения ℓ от нуля и выше, можно найти одно уникальное значение, при котором достигается максимальный рост капитала. В данном случае оно равно 0.5. Это означает, что, если все время держать в активе половину средств, а другую половину – в кэше, можно боковик превратить в бычий тренд, который за один цикл будет давать рост: (1 + 0.25 × 0.5) × (1 - 0.2 × 0.5) = 1.0125 или 1.25%.

Здесь следует отметить, что при рычаге меньше единицы докупать актив приходится при падении цены и частично продавать – при росте, что зеркально отличается от ситуации при торговле с заемными средствами (маржей).

Не так уж все и сложно

Многие трейдеры думают, что формулы манименеджмента – это что-то очень сложное, доступное только для математически продвинутых людей. Это вовсе не так. Во-первых, для использования формул достаточно только общего их понимания, а во-вторых, как будет показано ниже, можно даже вывести их самостоятельно – для этого достаточно лишь знания базового курса математики и умения сформулировать задачу. Давайте выведем формулу, позволяющую вычислить значение рычага, при котором достигается максимальный рост при торговле с реинвестированием. Для начала возьмем пример из предыдущего параграфа, но несколько его обобщим. Пускай динамика актива происходит по формуле:

(1 + P × ℓ)^p × (1 - L × ℓ)^(1 - p),

где P и L – процентные прибыль и убыток, а p – вероятность прибыли.

Нам надо найти такое значение ℓ, при котором данное произведение максимально. Чтобы упростить задачу, можно прологарифмировать это выражение. Логарифмы позволяют заменить умножение сложением и существенно снизить сложность задачи. Выполнив эту операцию, имеем:

ln(1 + P × ℓ) × p + ln(1 - L × ℓ) × (1 - p)

Чтобы найти максимум, нужно взять производную по ℓ и отыскать точку, в которой она равна нулю. Как известно, производная функции ln(x) равна 1/x. По правилам дифференцирования получается:

P × p/(1 + P × ℓ) + L × (p - 1)/(1 - L × ℓ) = 0

Чтобы решить это уравнение, сильно не ломая голову, можно воспользоваться каким-либо математическим пакетом, напр., MATLAB или Mathematica. Кстати, кроме того, в этих программах можно вычислять и производные. В итоге получаем ответ:

ℓ*= [P × p - L × (1 - p)]/(P × L)

Нетрудно заметить, что в числителе этого выражения стоит матожидание доходности – средняя арифметическая доходность – все-таки она нам пригодилась! В знаменателе же находится выражение достаточно близкое к дисперсии (квадрату волатильности) доходности. Таким образом, оказывается, что рычаг, при котором достигается максимальный рост, фактически зависит только от обобщенных статистических характеристик торговой системы – средней доходности и волатильности. Вооружившись этой интуицией, можно обобщить полученную нами формулу и на другие активы – с любыми возможными значениями P и L. Здесь мы не будем это доказывать, но можно показать, что такое обобщение является достаточно корректным для того, чтобы использовать его на практике. Итак, общая формула выглядит следующим образом:

ℓ*= µ/σ^2,

где µ – средняя доходность (сверх %ставки, если взимаются проценты за предоставление рычага), σ – волатильность. Напр., при %ставке 5%, средней доходности 30% и волатильности 25% годовых, максимальный рост достигается при рычаге равном: (0.3-0.05)/0.252 = 4.

Выводы

Итак, мы разобрались в некоторых нюансах реинвестирования и даже вывели формулу для вычисления размера рычага, при котором достигается максимальный рост. Финансовый рычаг линейно воздействует на доходность и этим объясняется ряд парадоксов, возникающих при торговле с реинвестированием: превращение боковика в медвежий тренд при чрезмерном рычаге и, наоборот, превращение боковика при «стратегии 50/50» в бычий. При высокой волатильности большой рычаг линейно усиливает и без того крупные процентные убытки, которые недостаточно компенсируются увеличением прибылей, чтобы капитал мог расти или хотя бы не падать. В этом случае умеренная стратегия, напр., с вложением только половины средств, может смягчить волатильность, компенсировать убытки прибылями и позволить выйти на рост. На практике эффективность реинвестирования зависит от точности оценок будущей доходности и волатильности торговой системы. Поэтому часто для страховки используют только половину от максимально допустимого рычага (ℓ*), вычисленного по выведенной нами формуле.

Q-trading.ru

До мирового финансового кризиса риску ликвидности не придавали большого значения. Финансовые модели, как правило, просто его не учитывали. Однако с тех пор многое изменилось. Теперь большинство финансовых институтов остро осознают, что изъятие ликвидности может способствовать передаче шоков через финансовую систему или даже порождению кризиса.

Что такое риск ликвидности?

Принято различать два вида рисков ликвидности: финансовый и рыночный. Финансовый риск ликвидности относится к области управления корпоративными финансами. Этот риск проявляется в том, что компания может столкнуться с трудностями при оплате своих обязательств. Классическим индикатором этого вида риска ликвидности является коэффициент текущей ликвидности (current ratio): текущие активы/текущие задолженности. Для инвестора наибольший интерес представляет рыночный риск ликвидности. Неликвидность актива проявляется в трудностях при выходе из позиции. Хорошим примером такого актива является недвижимость. Как правило, ее очень трудно быстро продать, и это бывает возможно лишь при «бросовой» цене. Недвижимость, несомненно, обладает существенной стоимостью, но поскольку на рынке может не хватать покупателей, эту стоимость трудно реализовать. На другом конце спектра находятся высоколиквидные активы, такие как, напр., американские гособлигации или акции (небольшие позиции) из индекса S&P500. Такие позиции легко закрываются по рыночной цене, и эта цена является адекватной. Однако позиции по многим другим активам, особенно из альтернативных классов, далеко не так просто ликвидируются. Фактически альтернативные активы и можно определить как активы с высоким риском ликвидности.

Рыночный риск ликвидности может зависеть от следующих факторов:

1. Микроструктура рынка. Биржевые активы, напр., товарные фьючерсы, обычно обладают достаточной «глубиной рынка», но многие внебиржевые (OTC) рынки – «тонкие».
2. Тип актива: простые активы более ликвидны чем сложные. Напр, во время кризиса двойные CDO (CDO^2 – структурированные ноты обеспеченные траншами CDO) стали особенно неликвидными из-за их сложности.
3. Временной горизонт: необходимость срочной продажи обостряет риск ликвидности. Если же продавец проявляет терпение, риск ликвидности представляет значительно меньшую угрозу.

Отметим общую черту характерную для обоих видов риска ликвидности: оба они предполагают, что «нет времени ждать». Неликвидность – это проблема, которая, как правило, может быть решена большим количеством времени.

Меры риска

Есть как минимум три индикатора ликвидности актива. Самая популярная и очевидная метрика – это bid/ask спред. Узкий спред отражает ликвидный рынок. Понятие «глубина» относится к способности рынка поглощать продажу (выход из позиции). Индивидуальный инвестор, продающий несколько лотов акции, скорее всего, не повлияет на ее цену, с другой стороны, институциональный инвестор, продающий крупный блок акций компании с малой капитализацией, вероятно, уронит цену. Наконец, устойчивость (resiliency) означает способность рынка восстанавливаться к прежним уровням от временных некорректных цен («шпилек»).

Если суммировать:

Bid/ask спред измеряет ликвидность в ценовом измерении и является свойством рынка, а не продавца (или его позиции). Финансовые модели, включающие bid/ask спред, концентрируются на внешней стороне ликвидности и являются экзогенными моделями.

Размер позиции по отношению к рынку является характеристикой продавца. Модели, учитывающие размер, измеряют ликвидность в количественном измерении и относятся к эндогенным моделям.

Устойчивость измеряет ликвидность во временном измерении. Такие модели на данный момент являются относительно редкими.

«Идеальный тип» высокой ликвидности предполагает владельца малой позиции по отношению к «глубокому», быстро восстанавливающемуся рынку, выходящего из него при узком спреде.

Как насчет объема?

Торговый объем является популярной мерой ликвидности, но сейчас к нему относятся осторожно. Высокий объем необязательно предполагает высокую ликвидность. «Быстрый крах» (Flash Crash) 6 мая 2010 доказал это на конкретном болезненном примере. Согласно данным SEC, программы продаж вводили ордера в систему быстрее, чем они могли быть исполнены. Объем подпрыгнул, но многие ордера не были реализованы. Как написала SEC, «во времена значительной волатильности высокий торговый объем не всегда является надежным индикатором ликвидности рынка».

Распространенный метод учета риска ликвидности

В случае экзогенного риска ликвидности один из подходов заключается в том, чтобы использовать спред для корректировки метрики риска. Приведем пример с value at risk (VaR). Допустим, дневная волатильность позиции в $1000000 составляет 1%. Позиция имеет положительное матожидание, но на дневном горизонте оно достаточно мало, поэтому для простоты им можно пренебречь, что является распространенной практикой. Если взять за основу нормальное распределение, то 95% VaR составит:

$1000000 х 0.01 х 1.65 = $16500

При таких предположениях можно утверждать, что только в один день из двадцати (5% времени) дневной убыток будет превышать $16500. Однако эта цифра не принимает в расчет ликвидность. Предположим, что позиция ассоциирована с отдельной акцией, и средний bid/ask спред по ней составляет 4.0%. Полный спред представляет собой стоимость «круговой поездки»: покупки и продажи акции. Поскольку мы заинтересованы в издержках ликвидности, возникающих при выходе из позиции, следует использовать только половину спреда. В случае с VaR мы имеем:

Liquidity cost (LC) = 0.5 х spread

Liquidity-adjusted VaR (LVaR) = position ($) х (volatility x quantile + LC)

В нашем примере:

LVaR = $1000000 х (0.01 х 1.65 + 0.5 х 0.04) = $36500

Таким образом, учет ликвидности увеличивает VaR на половину спреда ($1000000 х 0.02 = $20000).

Резюме

Рыночный риск ликвидности – это проблема, возникающая при взаимодействии продавцов и покупателей. Если позиция продавца велика по отношению к рынку, имеет место эндогенный риск ликвидности (атрибут продавца). Если на рынке не хватает покупателей, наблюдается экзогенный риск ликвидности (характеристика рынка). Типичный индикатор в этом случае аномально большой спред. Популярным методом включения риска ликвидности в оценку общего риска является корректировка риск-метрики при помощи добавления половины %спреда.

Q-trading.ru